The solution of the differential equation $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}-2\mathrm{y} \tan 2\mathrm{x}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\sec 2\mathrm{x}$ is : 

 

$\begin{array}{rcl}\mathrm{I}.\mathrm{F}& =& {\mathrm{e}}^{\int -2\tan 2\mathrm{x} \mathrm{dx}}\\ & =& {\mathrm{e}}^{-\log \sec 2\mathrm{x}}\\ & =& \frac{1}{\sec 2\mathrm{x}}\end{array}$

Multiplying the D.E with I.F

$\begin{array}{rcl}\cos 2\mathrm{x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}-2\mathrm{y} \sin 2\mathrm{x}& =& {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\\ \cos 2\mathrm{x} \mathrm{dy}-2\mathrm{y} \sin 2\mathrm{x} \mathrm{dx}& =& {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\\ \mathrm{d}\left(\mathrm{y} \cos 2\mathrm{x}\right)& =& {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} \mathrm{dx}\\ \mathrm{y} \cos 2\mathrm{x}& =& \int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} \mathrm{dx}\\ \mathrm{y} \cos 2\mathrm{x}& =& {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\mathrm{c}\end{array}$