The solution of $\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}-\frac{2}{3} \mathrm{xy}={\mathrm{x}}^4{\mathrm{y}}^3$ is

$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}-\frac{2}{3}\mathrm{xy}& =& {\mathrm{x}}^4{\mathrm{y}}^3\\ \frac{1}{{\mathrm{x}}^4}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}-\frac{2}{3}\frac{\mathrm{xy}}{{\mathrm{x}}^4}& =& \frac{{\mathrm{x}}^4{\mathrm{y}}^3}{{\mathrm{x}}^4}\\ & \Rightarrow & \frac{1}{{\mathrm{x}}^4}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}-\frac{2}{3}\frac{\mathrm{y}}{{\mathrm{x}}^3}={\mathrm{y}}^3\\ & \Rightarrow & \frac{3}{{\mathrm{x}}^4}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}-\frac{2\left(\cancel{ 3}\right)}{\cancel{ 3}}\frac{\mathrm{y}}{{\mathrm{x}}^3}=3{\mathrm{y}}^3\\ & \Rightarrow & \mathrm{Let} \frac{1}{{\mathrm{x}}^3}=\mathrm{t} \Rightarrow \frac{-3}{{\mathrm{x}}^4}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}=\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dy}}\\ & \Rightarrow & \frac{-\mathrm{dt}}{\mathrm{dy}}-2\mathrm{ty}=3{\mathrm{y}}^3\\ & \Rightarrow & \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dy}}+2\mathrm{ty}=-3{\mathrm{y}}^3\\ \mathrm{P}& =& 2\mathrm{y}, \mathrm{Q}=-3{\mathrm{y}}^3\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\mathrm{I}.\mathrm{F}& =& {\mathrm{e}}^{\int 2\mathrm{y} \mathrm{dy}}={\mathrm{e}}^{{\mathrm{y}}^2}\\ \mathrm{t}.{\mathrm{e}}^{{\mathrm{y}}^2}& =& \int {\mathrm{e}}^{{\mathrm{y}}^2}.3{\mathrm{y}}^3 \mathrm{dy} \\ & \Rightarrow & \mathrm{t}.{\mathrm{e}}^{{\mathrm{y}}^2}=\frac{-3}{2}\int {\mathrm{e}}^{{\mathrm{y}}^2\left({\mathrm{y}}^2\right)2\mathrm{y} \mathrm{dy}}\\ & \Rightarrow & \mathrm{t}.{\mathrm{e}}^{{\mathrm{y}}^2}=\frac{-3}{2}\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{z}}.\left(\mathrm{z}\right) \mathrm{dz} {\mathrm{y}}^2=\mathrm{z}\\ & \Rightarrow & \mathrm{t}.{\mathrm{e}}^{{\mathrm{y}}^2}=\frac{-3}{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{z}}(\mathrm{z}-1) 2\mathrm{y} \mathrm{dy}=\mathrm{dz}\\ & \Rightarrow & \frac{-1}{{\mathrm{x}}^3}{\mathrm{e}}^{{\mathrm{y}}^2}=\frac{-3}{2}{\mathrm{e}}^{{\mathrm{y}}^2} \left({\mathrm{y}}^2-1\right)+\mathrm{c}\\ & \Rightarrow & \frac{1}{{\mathrm{x}}^3}\\ & =& \frac{-3}{2}\left({\mathrm{y}}^2-1\right)+{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{y}}^2}\mathrm{c}\\ & \Rightarrow & \frac{1}{{\mathrm{x}}^3}=\frac{3}{2}\left(1-{\mathrm{y}}^2\right)+{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{y}}^2}\mathrm{c}\end{array}$