The solution of $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\frac{1}{\mathrm{x}}=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{y}}}{{\mathrm{x}}^2}$ is
 

${\mathrm{e}}^{-\mathrm{y}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{y}}}{\mathrm{x}}=\frac{1}{{\mathrm{x}}^2} -\left(1\right)$

Let  ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{y}}=\mathrm{V}$

$\begin{array}{rcl}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{y}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}& =& \frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}\\ & \Rightarrow & {\mathrm{e}}^{-\mathrm{y}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{-\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}\end{array}$

Putting the value in (1)

$\begin{array}{rcl}\frac{-\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}+\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{x}}& =& \frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\\ & \Rightarrow & \frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}-\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{u}}=\frac{-1}{{\mathrm{x}}^2}\\ \mathrm{I}.\mathrm{F}& =& {\mathrm{e}}^{\int \frac{-1}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}}={\mathrm{e}}^{-\ln \mathrm{x}}=\frac{1}{\mathrm{x}}\\ \mathrm{V}\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)& =& \int \frac{-1}{{\mathrm{x}}^2}·\frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}+\mathrm{c}\\ & \Rightarrow & \frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{y}}}{\mathrm{x}}=-\int \frac{1}{{\mathrm{x}}^3}\mathrm{dx}+\mathrm{c}\\ & \Rightarrow & \frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{y}}}{\mathrm{x}}=\frac{1}{2{\mathrm{x}}^2}+\mathrm{c}\end{array}$