The solution of $\mathrm{y} \mathrm{dx} – \mathrm{x} \mathrm{dy} + \mathrm{logx} \mathrm{dx} =0$ is

$\begin{array}{rcl}\mathrm{y} \mathrm{dx} – \mathrm{x} \mathrm{dy} + \mathrm{logx} \mathrm{dx} & =& 0\end{array}$
$\begin{array}{rcl} & & \\ \frac{\mathrm{xdy}-\mathrm{ydx}}{{\mathrm{x}}^2}& =& \frac{\mathrm{logx} \mathrm{dx}}{{\mathrm{x}}^2}\\ & & \\ & \Rightarrow & \frac{\log \mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}} \left(\raisebox{1ex}{$\mathrm{y}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{x}$}\right.\right)\end{array}$

$$\begin{gathered} \int \frac{\log \mathrm{x} }{{\mathrm{x}}^2} \mathrm{dx}=\int \mathrm{d}\left(\raisebox{1ex}{$\mathrm{y}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{x}$}\right.\right) \\ \int \frac{\log \mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2} \mathrm{dx}=\raisebox{1ex}{$\mathrm{y}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{x}$}\right.+{\mathrm{C}}_1 \\ \mathrm{Let} \log \mathrm{x}=\mathrm{t} \to \left( \frac{1}{x}\right) \mathrm{dx}=\mathrm{dt} \\ \mathrm{x}={\mathrm{e}}^{\mathrm{t}} \\ \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{x}$}\right.={\mathrm{e}}^{-\mathrm{t}} \\ \Rightarrow \int \mathrm{t} {\mathrm{e}}^{-\mathrm{t}} \mathrm{dt}=-\mathrm{t} {\mathrm{e}}^{-\mathrm{t}}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{t}} \\ =-\left(\frac{1+\mathrm{t}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{t}}}\right)=-\frac{-(1+\log \mathrm{x})}{\mathrm{x}} \\ \Rightarrow -\left(1+\frac{\log \mathrm{x}}{\mathrm{x}}\right)=\raisebox{1ex}{$\mathrm{y}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{x}$}\right.+{\mathrm{C}}_1 \\ \Rightarrow 1+\log \mathrm{x}+\mathrm{y}+{\mathrm{C}}_1\mathrm{x}=0 \\ \mathrm{Put} {\mathrm{C}}_1=-\mathrm{C} \\ \Rightarrow 1+\log \mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{Cx} \end{gathered}$$