The sum of the infinite series $1+\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{3}\right)+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}\right)\left(\frac{1}{3^2}\right)+\mathrm{.....}\infty$ is

$let S = 1+\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{3}\right)+\mathrm{.....}$

$\Rightarrow \left(1-\frac{1}{2}\right)S=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(\frac{1}{3}\right)+\left(1-\frac{1}{2^3}\right)\left(\frac{1}{3^2}\right)+.........$

                      = $\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{......}\infty \right)-\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{6}+\frac{1}{6^2}+\mathrm{.....}\right)=\frac{9}{10}$

$\Rightarrow S=\frac{9}{5}$