The value of c for which the Lagrange's mean value theorem is applicable for the function 

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}(\mathrm{x}+3)(\mathrm{x}-2) \mathrm{in} \left[-1, 4\right] \mathrm{is}$

$$\begin{gathered} {\mathrm{f}}^1\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}+3\right)\left(\mathrm{x}-2\right)+\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-2\right)+\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+3\right) \\ ={\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-6+{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x} \\ =3{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-6 \\ {\mathrm{f}}^1\left(\mathrm{c}\right)=\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}(-1)}{4-(-1)} \\ 3{\mathrm{c}}^2+2\mathrm{c}-6=\frac{56-6}{5}=10 \\ 3{\mathrm{c}}^2+2\mathrm{c}-16=0\Rightarrow 3{\mathrm{c}}^2+8\mathrm{c}-6\mathrm{c}-16=0 \\ \Rightarrow 3\mathrm{c}(3\mathrm{c}+8)-2(3\mathrm{c}+8)=0 \\ \Rightarrow \mathrm{c}=2 \end{gathered}$$