The value of r for which ${ }^{20}{{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}}^{20}{\mathrm{C}}_0{+}^{20}{{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}-1}}^{20}{\mathrm{C}}_1{+}^{20}{{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}-2}}^{20}{\mathrm{C}}_2+\dots {.}^{20}{{\mathrm{C}}_0}^{20}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}$ is maximum, is

${ }^{20}{{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}}^{20}{\mathrm{C}}_0{+}^{20}{{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}-1}}^{20}{\mathrm{C}}_1{+}^{20}{{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}-2}}^{20}{\mathrm{C}}_2+\dots {+}^{20}{{\mathrm{C}}_0}^{20}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}$

=coefficient of ${\mathrm{x}}^{\mathrm{r}}$ in $(1+\mathrm{x}{)}^{20}(1+\mathrm{x}{)}^{20}$

= coefficient of ${\mathrm{x}}^{\mathrm{r}}$ in $(1+\mathrm{x}{)}^{40}$

${=}^{40}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}$  

${ }^{40}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}$ is maximum if $\mathrm{r}=20$.