The value of ${\mathrm{ilog}}_{\mathrm{e}}(\mathrm{x}-\mathrm{i})+{\mathrm{i}}^2\mathrm{\pi }+{\mathrm{i}}^3{\log }_{\mathrm{e}}(\mathrm{x}+\mathrm{i})+{\mathrm{i}}^4\left(2{\tan }^{-1}\mathrm{x}\right),\mathrm{x}>0,\mathrm{i}=\sqrt{-1}\text{ is }$

$$\begin{gathered} {\mathrm{ilog}}_{\mathrm{e}}(\mathrm{x}-\mathrm{i})+{\mathrm{i}}^2\mathrm{\pi }+{\mathrm{i}}^3{\log }_{\mathrm{e}}(\mathrm{x}+\mathrm{i})+{\mathrm{i}}^4\left(2{\tan }^{-1}\mathrm{x}\right) \\ \Rightarrow {\mathrm{ilog}}_{\mathrm{e}}(\mathrm{x}-\mathrm{i})-{\mathrm{ilog}}_{\mathrm{e}}(\mathrm{x}+\mathrm{i})-\mathrm{\pi }+2{\tan }^{-1}\mathrm{x} \end{gathered}$$

$\mathrm{Let} \mathrm{\theta }={\tan }^{-1}\frac{1}{\mathrm{x}}$

${\mathrm{ilog}}_{\mathrm{e}}(\mathrm{x}-\mathrm{i})-{\mathrm{ilog}}_{\mathrm{e}}(\mathrm{x}+\mathrm{i})=\mathrm{ilog}\left(\frac{\mathrm{x}-\mathrm{i}}{\mathrm{x}+\mathrm{i}}\right)=\mathrm{ilog}\left({\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i\theta }}\right)=2\mathrm{\theta }=2{\tan }^{-1}\frac{1}{\mathrm{x}}=2{\cot }^{-1}\mathrm{x}$
$\text{ Required }=2{\cot }^{-1}\mathrm{x}-\mathrm{\pi }+2{\tan }^{-1}\mathrm{x}=2\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{\pi }=0$