The value of ${ }^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_0{\times }^{2\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}{-}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_1{\times }^{2\mathrm{n}-2}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}{+}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_2{\times }^{2\mathrm{n}-4}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}+\dots$ is equal to

${ }^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_0{\times }^{2\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}{-}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_1{\times }^{2\mathrm{n}-2}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}{+}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_2{\times }^{2\mathrm{n}-4}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}+\dots$

              $$\begin{gathered} =\text{ Coefficient of }{\mathrm{x}}^{\mathrm{r}}\text{ in }\left({ }^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_0(1+\mathrm{x}{)}^{2\mathrm{n}}{-}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_1(1+\mathrm{x}{)}^{2\mathrm{n}-2}\left.{+}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_2(1+\mathrm{x}{)}^{2\mathrm{n}-4}+\dots \right)\right. \\ =\text{ Coefficient of }{\mathrm{x}}^{\mathrm{r}}\text{ in }\left({ }^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_0{\left((1+\mathrm{x}{)}^2\right)}^{\mathrm{n}}{-}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_1{\left((1+\mathrm{x}{)}^2\right)}^{\mathrm{n}-1}\left.{+}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_2{\left((1+\mathrm{x}{)}^2\right)}^{\mathrm{n}-2}+\dots \right)\right. \\ =\text{ Coefficient of }{\mathrm{x}}^{\mathrm{r}}\text{ in }{\left((1+\mathrm{x}{)}^2-1\right)}^{\mathrm{n}} \\ =\text{ Coefficient of }{\mathrm{x}}^{\mathrm{r}}\text{ in }{\left(2\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^2\right)}^{\mathrm{n}} \end{gathered}$$

General term, ${\mathrm{T}}_{\mathrm{p}+1}{=}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{p}}(2\mathrm{x}{)}^{\mathrm{n}-\mathrm{p}}{\left({\mathrm{x}}^2\right)}^{\mathrm{p}}{=}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{p}}{2}^{\mathrm{n}-\mathrm{p}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+\mathrm{p}}$

For ${\mathrm{x}}^{\mathrm{r}},\mathrm{n}+\mathrm{p}=\mathrm{r}.\text{ So, }\mathrm{p}=\mathrm{r}-\mathrm{n}$

$\therefore$ Coefficient of ${\mathrm{x}}^{\mathrm{r}}{=}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}-\mathrm{n}}\times 2^{2\mathrm{n}-\mathrm{r}}$

This is non-zero if $\mathrm{r}\ge \mathrm{n}$ and zero if r < n.