The value of ${ }^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_0{+}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_1{+}^{\mathrm{n}+2}{\mathrm{C}}_2+\dots \dots ..{+}^{\mathrm{n}+\mathrm{k}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{k}}$ is equal to

The given expression is the coefficient of ${\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}$ in $(1+\mathrm{x}{)}^{\mathrm{n}}+(1+\mathrm{x}{)}^{\mathrm{n}+1}+\dots +(1+\mathrm{x}{)}^{\mathrm{n}+\mathrm{k}}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \text{ coefficient of }{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\mathrm{in}(1+\mathrm{x}{)}^{\mathrm{n}}\left\{\frac{(1+\mathrm{x}{)}^{\mathrm{k}+1}-1}{1+\mathrm{x}-1}\right\}\\ =\frac{(1+\mathrm{x}{)}^{\mathrm{n}}(1+\mathrm{x}{)}^{\mathrm{k}+1}-(1+\mathrm{x}{)}^{\mathrm{n}}}{\mathrm{x}}=\frac{(1+\mathrm{x}{)}^{\mathrm{n}+\mathrm{k}+1}-(1+\mathrm{x}{)}^{\mathrm{n}}}{x}\\ \Rightarrow \text{ Coefficient of }{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}\text{ in }\\ (1+\mathrm{x}{)}^{\mathrm{n}+\mathrm{k}+1}-{(1+\mathrm{x}{)}^{\mathrm{n} }\mathrm{is} }^{\mathrm{n}+\mathrm{k}+1}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}+1}{\text{ or }}^{\mathrm{n}+\mathrm{k}+1}{\mathrm{C}}_{\mathrm{k}}\end{array}$