The value of $\mathrm{\theta }$ of mean value theorem for the function $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}$ in [1, 2] is

$$\begin{gathered} {\mathrm{f}}^1\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{ax}+\mathrm{b} \\ {\mathrm{f}}^1(\mathrm{a}+\mathrm{\theta h})=\frac{\mathrm{f}(\mathrm{a}+\mathrm{h})-\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)}{\mathrm{h}} \\ \mathrm{a}=1 \mathrm{a}+\mathrm{h}=2 \Rightarrow \mathrm{h}=1 \\ {\mathrm{f}}^1(1+\mathrm{\theta })=\frac{\mathrm{f}\left(2\right)-\mathrm{f}\left(1\right)}{1} \\ 2\mathrm{a}(1+\mathrm{\theta })+\mathrm{b}=\frac{4\mathrm{a}+2\mathrm{b}+\mathrm{c}-\mathrm{a}-\mathrm{b}-\mathrm{c}}{1} \\ 2\mathrm{a}(1-\mathrm{\theta })+\mathrm{b}=3\mathrm{a}+\mathrm{b} \\ 1+\mathrm{\theta }=\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right. \Rightarrow \mathrm{\theta }=\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right. \end{gathered}$$