The value of $\text{'}\mathrm{\theta } \text{'}$ of the Lagrange's mean value theorem for $\text{⨍} \left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+3, \mathrm{a}=1, \mathrm{h}=1/2$
 

$$\begin{gathered} {\mathrm{f}}^1\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{x}-2 \\ {\mathrm{f}}^1(\mathrm{a}+\mathrm{\theta h})=\frac{\mathrm{f}(\mathrm{a}+\mathrm{h})-\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)}{\mathrm{h}} \\ {\mathrm{f}}^1\left(1+\frac{\mathrm{\theta }}{2}\right)=\frac{{(\mathrm{a}+\mathrm{h})}^2-2(\mathrm{a}+\mathrm{h})+3-{\mathrm{a}}^2+2\mathrm{a}-3}{\mathrm{h}} \\ =\frac{{\mathrm{h}}^2+2\mathrm{ah}-2\mathrm{h}}{\mathrm{h}}=\mathrm{h}+2\mathrm{a}-2 \\ 2\left(1+\frac{\mathrm{\theta }}{2}\right)-2=\frac{1}{2}+2-2 \\ \mathrm{\theta }=\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right. \end{gathered}$$