The values of λ such that

$(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})\ne (0,0,0) \mathrm{and} (\mathrm{i̅}+\mathrm{j̅}+3\mathrm{k̅} )\mathrm{x}+(3\mathrm{i̅}-3\mathrm{j̅}+\mathrm{k̅} )\mathrm{y}+(-4\mathrm{i̅}+5\mathrm{j̅} )\mathrm{z}=\mathrm{\lambda }(\mathrm{xi̅}+\mathrm{yj̅}+\mathrm{zk̅}) \mathrm{are}$

$$\begin{gathered} (\mathrm{x}+3.\mathrm{y}-4\mathrm{z})\mathrm{i}+(\mathrm{x}-3\mathrm{y}+5\mathrm{z})\mathrm{j}+(3\mathrm{x}+\mathrm{y})\mathrm{k} \\ =\mathrm{\lambda xi}+\mathrm{\lambda yi}+\mathrm{\lambda zk} \\ \mathrm{x}+3\mathrm{y}-4\mathrm{z}=\mathrm{\lambda x} \Rightarrow \mathrm{x}(1-\mathrm{\lambda })+3\mathrm{y}-4\mathrm{z}=0 \\ \mathrm{z}-3\mathrm{y}+5\mathrm{z}=\mathrm{\lambda y} \Rightarrow \mathrm{x}-(3+\mathrm{\lambda })\mathrm{y}+5\mathrm{z}=0 \\ 3\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{\lambda z} \Rightarrow 3\mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{\lambda z}=0 \\ \left|\begin{array}{ccc}1-\mathrm{\lambda }& 3& -4\\ 1& -(3+\mathrm{\lambda })& 5\\ 3& 1& -\mathrm{\lambda }\end{array}\right|=0 \Rightarrow (1-\mathrm{\lambda }) ({\mathrm{\lambda }}^2+3\mathrm{\lambda }-5)-3(-\mathrm{\lambda }-15)-4(1+9+3\mathrm{\lambda })=0 \\ {\mathrm{\lambda }}^2+3\mathrm{\lambda }-5-{\mathrm{\lambda }}^3-3{\mathrm{\lambda }}^2+5\mathrm{\lambda }+3\mathrm{\lambda }+45-40-12\mathrm{\lambda }=0 \\ -{\mathrm{\lambda }}^3-2{\mathrm{\lambda }}^2-\mathrm{\lambda }=0 \Rightarrow \mathrm{\lambda }({\mathrm{\lambda }}^2+2\mathrm{\lambda }+1)=0 \\ \Rightarrow \mathrm{\lambda }=0, -1 \end{gathered}$$