The values of b and c for which the identity $\mathrm{f}(\mathrm{x}+1)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=8\mathrm{x}+3$ is satisfied where $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{bx}}^2+\mathrm{cx}+\mathrm{d}$ are

$\mathrm{f}(\mathrm{x}+1)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=8\mathrm{x}+3$
$\mathrm{b}(\mathrm{x}+1{)}^2+\mathrm{c}(\mathrm{x}+1)+\mathrm{d}-{\mathrm{bx}}^2-\mathrm{cx}-\mathrm{d}=8\mathrm{x}+3$
$\Rightarrow {\mathrm{bx}}^2+\mathrm{b}+2\mathrm{bx}+\mathrm{cx}+\mathrm{c}+\mathrm{d}-{\mathrm{bx}}^2-\mathrm{cx}-\mathrm{d}=8\mathrm{x}+3$
$$\begin{gathered} \Rightarrow 2\mathrm{b}=8 and \mathrm{b}+\mathrm{c}=3 \\ \mathrm{b}=4 and 4+\mathrm{c}=3 \Rightarrow \mathrm{c}=-1 \\ \therefore \mathrm{b}=4 and \mathrm{c}=-1 \end{gathered}$$