The vector equation of the line passing through the point $\overline{\mathrm{i}}-2\overline{\mathrm{j}}+\overline{\mathrm{k}}$ and perpendicular to the vectors $2\overline{\mathrm{i}}-3\overline{\mathrm{j}}-\overline{\mathrm{k}}, \overline{\mathrm{i}}+4\overline{\mathrm{j}}-2\overline{\mathrm{k}}$ is

$\begin{array}{rcl}\overline{\mathrm{a}}& =& \mathrm{i}-2\mathrm{j}+\mathrm{k}\\ \overline{\mathrm{b}}& =& 2\mathrm{i}-3\mathrm{j}-\mathrm{k} \overline{\mathrm{c}}=\mathrm{i}+4\mathrm{j}-2\mathrm{k}\\ \overline{\mathrm{b}}\times \overline{\mathrm{c}}& =& \left|\begin{array}{ccc}\mathrm{i}& \mathrm{j}& \mathrm{k}\\ 2& -3& -1\\ 1& 4& -2\end{array}\right|=\mathrm{i}\left(10\right)-\mathrm{j}(-3)+\mathrm{k}\left(11\right)\end{array}$

eq of line passing through $\overline{\mathrm{a}}$ and perpendicular to $\overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}} \Rightarrow \overline{\mathrm{r}}=\overline{\mathrm{a}}+\mathrm{t}(\overline{\mathrm{b}}\times \overline{\mathrm{c}})$

$\overline{\mathrm{r}}=(\mathrm{i}-2\mathrm{j}+\mathrm{k})+\mathrm{t}(10\mathrm{i}+3\mathrm{j}+11\mathrm{k})$