The vectors $\overline{\mathrm{a}}\times (\overline{\mathrm{b}}\times \overline{\mathrm{c}}), \overline{\mathrm{b}}\times (\overline{\mathrm{c}}\times \overline{\mathrm{a}}), \overline{\mathrm{c}}\times (\overline{\mathrm{a}}\times \overline{\mathrm{b}})$ are

$$\begin{gathered} \overline{\mathrm{a}}\times (\overline{\mathrm{b}}\times \overline{\mathrm{c}})=(\overline{\mathrm{a}}·\overline{\mathrm{c}}) \overline{\mathrm{b}}-(\overline{\mathrm{a}}·\overline{\mathrm{b}}) \overline{\mathrm{c}} \\ \overline{\mathrm{b}}\times (\overline{\mathrm{c}}\times \overline{\mathrm{a}})=(\overline{\mathrm{b}}·\overline{\mathrm{a}}) \overline{\mathrm{c}}-(\overline{\mathrm{b}}·\overline{\mathrm{c}}) \overline{\mathrm{a}} \\ \overline{\mathrm{c}}\times (\overline{\mathrm{a}}\times \overline{\mathrm{b}})=(\overline{\mathrm{c}}·\overline{\mathrm{b}}) \overline{\mathrm{a}}-(\overline{\mathrm{c}}·\overline{\mathrm{a}}) \overline{\mathrm{b}} \end{gathered}$$

Let  $\mathrm{x}=\overline{\mathrm{a}}·\overline{\mathrm{b}} \mathrm{y}=\overline{\mathrm{b}}·\overline{\mathrm{c}} \mathrm{z}=\overline{\mathrm{c}}·\overline{\mathrm{a}}$

$\begin{array}{rcl} & & [\overline{\mathrm{a}}\times (\overline{\mathrm{b}}\times \overline{\mathrm{c}}) \overline{\mathrm{b}}\times (\overline{\mathrm{c}}\times \overline{\mathrm{a}}) \overline{\mathrm{c}}\times (\overline{\mathrm{a}}\times \overline{\mathrm{b}}\left)\right]\\ & =& [\overline{\mathrm{a}} \overline{\mathrm{b}} \overline{\mathrm{c}}] \left|\begin{array}{ccc}0& \mathrm{z}& -\mathrm{x}\\ -\mathrm{y}& 0& \mathrm{x}\\ \mathrm{y}& -\mathrm{z}& 0\end{array}\right|\\ & =& [\overline{\mathrm{a}} \overline{\mathrm{b}} \overline{\mathrm{c}}] \left(-\mathrm{z}(0-\mathrm{yz})-\mathrm{x}(\mathrm{yz}-0)\right)=0\end{array}$