The vertices of a triangle are $\left(\mathrm{ab},\frac{1}{\mathrm{ab}}\right), \left(\mathrm{bc},\frac{1}{\mathrm{bc}}\right), \left(\mathrm{ca},\frac{1}{\mathrm{ca}}\right)$, where $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ are roots of the equation  ${\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+1=0$ such that the centroid is $\left(\mathrm{\alpha },\mathrm{\beta }\right)$, then $2\mathrm{\alpha }+\mathrm{\beta } =$

Given, $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ are the roots of ${\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+1=0$, then

$\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=3$

$\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}=6$

$\mathrm{abc}=-1$

Centroid $=\left(\frac{\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}}{3},\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\mathrm{ab}}+\frac{1}{\mathrm{bc}}+\frac{1}{\mathrm{ca}}\right)\right)$

$\Rightarrow \left(\mathrm{\alpha },\mathrm{\beta }\right)=\left(\frac{\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}}{3},\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{3\mathrm{abc}}\right)$

$\Rightarrow \left(\mathrm{\alpha },\mathrm{\beta }\right)=\left(\frac{6}{3},\frac{3}{-3}\right)$

$\Rightarrow \left(\mathrm{\alpha },\mathrm{\beta }\right)=\left(2,-1\right)$

$\therefore 2\mathrm{\alpha }+\mathrm{\beta }=2\left(2\right)-1=\mathbf{3}$