$\mathrm{The} \mathrm{product} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{four} \mathrm{values} \mathrm{of} {\left(\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^{3/4} \mathrm{is}$

$\begin{array}{rcl}{\left(\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}\right)}^{3/4}& =& {\left(\cos \frac{\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{i} \sin \frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)}^{3/4}\\ & =& {\left(\cos \mathrm{\pi }+\mathrm{i} \sin \mathrm{\pi }\right)}^{1/4}\end{array}$

 $\boxed{\mathrm{Product} \mathrm{of} \mathrm{n} \mathrm{th} \mathrm{roots} \mathrm{of} \mathrm{z}={(-1)}^{\mathrm{n}-1}\mathrm{z}}$

Product of $4^{\mathrm{th}}$ roots of ${(\cos \mathrm{\pi }+\mathrm{i} \sin \mathrm{\pi })}^{1/4}=(-1{)}^{4-1}(\cos \mathrm{\pi }+\mathrm{i} \sin \mathrm{\pi })$

                                                                                $={(-1)}^3 (-1)=1$