Two particles of mass m and 2m respectively are connected by a rigid rod of negligible mass and slide with negligible friction in a circular path of radius r on the inside of vertical circular ring. If the system is released from rest at  $\theta =0.$
                                                   
 

Column A		Column B
(P)  Velocity of the particles when        $\theta ={45}^0$	(1)	$\sqrt{2gr(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{3})}$
(Q) Maximum velocity of the particles	(2)	$Zero$
(R) Velocity when  $\theta$ satisfies the equation       $2\sin \theta +\cos \theta -1=0$	(3)	$\sqrt{\frac{2gr}{3}}$
(S) Velocity when     $\theta ={90}^0$	(4)	$\sqrt{\frac{2gr}{3}(\sqrt{5}-1)}$

(A) for  $\theta ={45}^0$, let height raised by A is  $h_A$ and that lowered by B is $h_B$then      $2mg\left(h_B\right)=mg{h}_A+1/2\left(3m\right)v^2$         
$\frac{3}{2}{v}^2=2g{h}_B-g{h}_A$  . . . (i)
 $h_B=r\cos 45=\frac{r}{\sqrt{2}}$
 $h_A=r(1-\cos 45)=r-\frac{r}{\sqrt{2}}$
Putting in equation (i)
 $\frac{3}{2}{v}^2=2g\left(\frac{r}{\sqrt{2}}\right)-g(r-\frac{r}{\sqrt{2}})$
 $v^2=\frac{2gr}{3}[\frac{2r}{\sqrt{2}}-r+\frac{r}{\sqrt{2}}]$
 $v=\sqrt{2gr[\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{3}]}$
At angle  $\theta$                                   $h_A=r(1-\cos \theta )$                                                                                                                                                                                                 

  so equation (i) is now

 $2gr\sin \theta =gr(1-\cos \theta )+\frac{3}{2}{v}^2$                                                                                                 $v^2=\frac{2gr}{3}(2\sin \theta +\cos \theta -1)$                                                                                                    $v=\sqrt{\frac{2gr}{3}(2\sin \theta +\cos \theta -1)}$                                                                                                                                                                                                                                    

 when        $2\sin \theta +\cos \theta -1=0$                                                                                                 then   $v=0$                                                                                                                              also        $\frac{d\left(v^2\right)}{d\theta }=2v\frac{dv}{d\theta }=2\cos \theta -\sin \theta =0$           
when     $2\cos \theta =\sin \theta$                                                                                                               

 $Tan\theta =2$
 $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{5}}$
 $\sin \theta =\frac{2}{\sqrt{5}}$
     $v_{\max }=\sqrt{\frac{2gr}{3}(2\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}-1)}$