Using Lagrange’s mean value theorem for $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\cos \mathrm{x},\text{ we get that }|\cos \mathrm{a}-\cos \mathrm{b}|\le$

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\cos \mathrm{x}\Rightarrow \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=-\mathrm{sinx} \\ \mathrm{According} \mathrm{to} \mathrm{LMVT} \\ \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{c}\right)=\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)}{\mathrm{b}-\mathrm{a}}\Rightarrow -\mathrm{sinc}=\frac{\mathrm{cosb}-\mathrm{cosa}}{\mathrm{b}-\mathrm{a}} \\ \Rightarrow \mathrm{cosa}-\mathrm{cosb}=-\mathrm{sinc}\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}\right) \\ \Rightarrow \left|\mathrm{cosa}-\mathrm{cosb}\right|=\left|\mathrm{sinc}\right|\left|\mathrm{a}-\mathrm{b}\right| \\ \therefore \left|\mathrm{cosa}-\mathrm{cosb}\right|⩽\left|\mathrm{a}-\mathrm{b}\right| \end{gathered}$$