$\text{⨍ }\left(\mathrm{x}\right)\text{=}\frac{1}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{x}-1},}\text{ x≠1}$ and $\text{⨍ }$ is continuous at $\mathrm{x}=1$ then $\text{⨍ }\left(1\right)\text{=}$

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^{\frac{1}{\mathrm{x}-1}},\mathrm{x}\ne 1$ and f is continuous

$\Rightarrow f\left(1\right)=\underset{x\to 1}{\lim } f\left(x\right)$

$\mathrm{f}\left(1\right)=\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim } {\mathrm{x}}^{\frac{1}{\mathrm{x}-1}}=1^{\infty }form$$\boxed{\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{\lim } \mathrm{f}{\left(\mathrm{x}\right)}^{\mathrm{g} \left(\mathrm{x}\right)}={\mathrm{e}}^{\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{\lim }\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-1\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}}$

$f\left(1\right)={\mathrm{e}}^{\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\frac{(\mathrm{x}-1)}{\mathrm{x}-1}\mathrm{ }}$

$=\mathrm{e}$

$\mathrm{f}\left(1\right)={\mathrm{e}}^1$

Option (1) is correct