$\int \frac{x^2}{{(x\sin x+\cos x)}^2}dx=$

$$\begin{gathered} \mathrm{I}=\int \frac{{\mathrm{x}}^2}{{(\mathrm{x} \sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x})}^2}\mathrm{dx} \\ =\int \frac{\mathrm{x}}{\cos \mathrm{x}}.\frac{\mathrm{x} \cos \mathrm{x}}{{(\mathrm{x} \sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x})}^2}\mathrm{dx} \\ \mathrm{now} \mathrm{consider} \int \frac{\mathrm{x} \cos \mathrm{x}}{(\mathrm{x} \sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x})}\mathrm{dx} \\ =\begin{array}{c}=\int \frac{\mathrm{dt}}{{\mathrm{t}}^2}\\ \frac{-1}{\mathrm{t}}+\mathrm{c}\\ =\frac{-1}{\mathrm{x} \sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x}}\end{array}\overline{)\begin{array}{c}\mathrm{Put} \mathrm{x} \sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x}=\mathrm{t}\\ (\mathrm{x} \cos \mathrm{s}+\sin \mathrm{x}(1)-\sin \mathrm{x})\mathrm{dx}=\mathrm{dt}\\ \mathrm{x} \cos \mathrm{x} \mathrm{dx}=\mathrm{dt}\end{array}} \end{gathered}$$$$\begin{gathered} \mathrm{no} \mathrm{I}=\int \frac{\mathrm{x}}{\cos \mathrm{x}}.\frac{\mathrm{x} \cos \mathrm{x}}{{(\mathrm{x} \sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x})}^2}\mathrm{dx} \\ \uparrow \uparrow \\ \mathrm{First} \mathrm{Function} \mathrm{Second} \mathrm{Function} \\ \mathrm{by} \mathrm{using}, \mathrm{by} \mathrm{parts} \\ =\frac{\mathrm{x}}{\cos \mathrm{x}}\left(\frac{-1}{\mathrm{x} \sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x}}\right)-\int \frac{\cos \mathrm{x}\left(1\right)-\mathrm{x}(-\sin \mathrm{x})}{{\cos }^2\mathrm{x}}\times \frac{-1}{(\mathrm{x} \sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x})}\mathrm{dx} \\ =\frac{-\mathrm{x}}{\cos \mathrm{x} (\mathrm{x} \sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x})}+\int {\sec }^2\mathrm{x} \mathrm{dx} \\ =\frac{-\mathrm{x}}{\cos \mathrm{x}(\mathrm{x} \sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x})}+\tan \mathrm{x}+\mathrm{c} \end{gathered}$$