${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2-\mathrm{yz}-\mathrm{zx}-\mathrm{xy}=\mathrm{\_\_\_\_\_\_} \text{ (given }\mathrm{x}=\mathrm{b}+\mathrm{c},\mathrm{y}=\mathrm{c}+\mathrm{a},\mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{b}\text{ ) }$

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2-\mathrm{yz}-\mathrm{zx}-\mathrm{xy}= \\ \mathrm{Given} \mathrm{x} = \mathrm{b} + \mathrm{c},\mathrm{y} = \mathrm{c} + \mathrm{a},\mathrm{z} = \mathrm{a} + \mathrm{b} \\ {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2-\mathrm{yz}-\mathrm{zx}-\mathrm{xy} \\ ={\left(\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)}^2+{\left(\mathrm{c}+\mathrm{a}\right)}^2+\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)-\left(\mathrm{c}+\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)-\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)-\left(\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{c}+\mathrm{a}\right) \\ ={\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2+2\mathrm{bc}+{\mathrm{c}}^2+{\mathrm{a}}^2+2\mathrm{ac}+{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+2\mathrm{ab}-\mathrm{ac}-\mathrm{bc}-{\mathrm{a}}^2-\mathrm{ab}-\mathrm{ab}-\mathrm{ac}-{\mathrm{b}}^2-\mathrm{bc}-\mathrm{bc}-\mathrm{ab}-{\mathrm{c}}^2-\mathrm{ac} \\ ={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2-\mathrm{bc}-\mathrm{ca}-\mathrm{ab} \end{gathered}$$