${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2-\mathrm{yz}-\mathrm{zx}-\mathrm{xy}=\dots (\text{ given }\mathrm{x}=\mathrm{b}+\mathrm{c},\mathrm{y}=\mathrm{c}+\mathrm{a},\mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{b})$

${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2-\mathrm{yz}-\mathrm{zx}-\mathrm{xy}=$
Given $\mathrm{x}=\mathrm{b}+\mathrm{c},\mathrm{y}=\mathrm{c}+\mathrm{a},\mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{b}$
$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2-\mathrm{yz}-\mathrm{zx}-\mathrm{xy}\\ =(\mathrm{b}+\mathrm{c}{)}^2+(\mathrm{c}+\mathrm{a}{)}^2+(\mathrm{a}+\mathrm{b})-(\mathrm{c}+\mathrm{a})(\mathrm{a}+\mathrm{b})-(\mathrm{a}+\mathrm{b})(\mathrm{b}+\mathrm{c})-(\mathrm{b}+\mathrm{c})(\mathrm{c}+\mathrm{a})\\ ={\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2+2\mathrm{bc}+{\mathrm{c}}^2+{\mathrm{a}}^2+2\mathrm{ac}+{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+2\mathrm{ab}-\mathrm{ac}-\mathrm{bc}-{\mathrm{a}}^2\\ -\mathrm{ab}-\mathrm{ab}-\mathrm{ac}-{\mathrm{b}}^2-\mathrm{bc}-\mathrm{bc}-\mathrm{ab}-{\mathrm{c}}^2-\mathrm{ac}\\ ={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2-\mathrm{bc}-\mathrm{ca}-\mathrm{ab}\end{array}$