${\displaystyle \int x^3\sin 3xdx=}$

$=x^3.{\displaystyle \int \sin 3xdx}-{\displaystyle \int \left(3x^2.{\displaystyle \int \sin 3xdx}\right)dx}$

$=x^3.\frac{\left(-\cos 3x\right)}{3}-{\displaystyle \int 3x^2\left(\frac{-\cos 3x}{3}\right)dx}$

$=\frac{-x^3\cos 3x}{3}+{\displaystyle \int x^2\cos 3xdx}$

$=\frac{-x^3.\cos 3x}{3}+x^2.\frac{\sin 3x}{3}-{\displaystyle \int 2x.\frac{\sin 3x}{3}dx}$

$=\frac{-x^3\cos 3x}{3}+\frac{3x^2\sin 3x}{9}-\frac{2}{3}\left[x.\frac{-\cos 3x}{3}-{\displaystyle \int 1.\frac{-\cos 3x}{3}}dx\right]$

$=\frac{-x^3\cos 3x}{3}+\frac{3x^2\sin 3x}{9}+\frac{2}{9}.x\cos 3x-\frac{2\sin 3x}{27}+c$