$\text{⨍}\left(\mathrm{x}\right)\text{=}\left[{\text{loge}}_{\mathrm{e}}\text{x }\right]\text{+}\sqrt{\left\{{\log }_{\mathrm{e}}\text{x}\right\}}\text{,x>1, where }\left[.\right]\text{ and }\left\{.\right\}$denote the greatest integer function and the fractional part function, respectively, then

$$\begin{gathered} \text{⨍(e)=}\left[{\text{log}}_{\mathrm{e}}\text{e}\right]\text{+}\sqrt{\left\{{\log }_{\mathrm{e}}\text{e}\right\}}\text{=}\left[1\right]\text{+}\sqrt{\left\{1\right\}}\text{=+0=1} \\ R.H.L=\text{⨍}\left({\mathrm{e}}^{+}\right)=\left[{\log }_{\mathrm{e}}{\mathrm{e}}^{+}\right]+\sqrt{\left\{{\log }_{\mathrm{e}}{\mathrm{e}}^{+}\right\}}=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{Lt}}\left[1+\mathrm{h}\right]+\sqrt{\left\{1+\mathrm{h}\right\}}=1+0=1 \\ L.H.L=\text{⨍}\left({\mathrm{e}}^{-}\right)=\left[{\log }_{\mathrm{e}}{\mathrm{e}}^{-}\right]+\sqrt{\left\{{\log }_{\mathrm{e}}{\mathrm{e}}^{-}\right\}}=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{Lt}}\left[1-\mathrm{h}\right]+\sqrt{\left\{1-\mathrm{h}\right\}}=0+1=1 \\ \Rightarrow L.H.L=R.H.L=f\left(e\right)\therefore ⨍(\mathrm{x}) \mathrm{is} \mathrm{contineous} \mathrm{at} \mathrm{x}=e \\ \mathrm{Now}{\text{⨍}}^1\left({\mathrm{e}}^{+}\right)\text{=}\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{Lt}}\frac{⨍(\mathrm{e}+\mathrm{h})-⨍(\mathrm{e})}{\mathrm{h}} \\ \text{=}\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{Lt}}\frac{\left[1+\mathrm{h}\right]\text{+}\sqrt{\left\{1+\mathrm{h}\right\}}\text{-1}}{\mathrm{h}}\text{=}\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{Lt}}\frac{1+\sqrt{\mathrm{h}}-1}{\mathrm{h}}\text{=}\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{Lt}}\frac{1}{\sqrt{\mathrm{h}}}\text{→∞} \\ \therefore ⨍(\mathrm{x}) \mathrm{is} \mathrm{non} \mathrm{differentiable} \mathrm{at} \mathrm{x}=0 \end{gathered}$$