∫secx−1dx

I=∫sec⁡x−1dx=∫1−cos⁡xcos⁡xdx=∫(1−cos⁡x)cos⁡x×(1+cos⁡x)(1+cos⁡x)dx=∫1−cos2⁡xcos⁡x+cos2⁡xdx=∫sin⁡xcos2⁡x+cos⁡xdx Let cos⁡x=t . Then d(cos⁡x)=dt or-sinx dx=dt . Therefore, I=∫−dtt2+t=−∫−dtt+122−122=−log⁡t+12+t+122−122∣+C=−log⁡t+12+t2+t+C=−log⁡cos⁡x+12+cos2⁡x+cos⁡x∣+C