∫(1+x)sin ⁡xx2+2xcos2⁡ x−(1+x)sin ⁡2xdx

I=∫(1+x)sin ⁡xdx(x+1)2cos2⁡x−cos2 ⁡x−2(1+x)sin ⁡xcos ⁡xI=(1+x)sin⁡xdx(x+1)2cos2⁡x+sin2 ⁡x−2(1+x)sin ⁡xcos⁡ x−1I=(1+x)sin⁡x(sin⁡x−(x+1)cos⁡x)2−1dx Put  sin⁡x−(x+1)cos⁡x=t⇒sin⁡ x(x+1)dx=dt∴ I=∫dtt2−1=12log ⁡t−1t+1+C=12loge⁡ sin ⁡x−(x+1)cos ⁡x−1sin ⁡x−(x+1)cos ⁡x+1+C