∫0π4xtanxtan(π4−x)dx=

I=∫0π4xtanxtan(π4−x)dx,x→π4−x I=∫0π4(π4−x)tan(π4−x)tanxdx 2I=π4∫0π4tanxtan(π4−x)dx ,I=π8∫0π4tanx(1−tanx1+tanx)dx,tanx=t I=π8∫01t(1−t)(1+t)(1+t2)dt    =π8∫01(1t2+1−1t+1)dt   =π8(tan−1t−ln(t+1)|01  =π8(π4−ln2)