$\int \frac{x}{(x-1)(x^2+4)}dx$

detailed solution

Correct option is C

∫x(x-1)(x2+4)dx let x(x-1)(x2+4)=Ax-1+Bx+Cx2+4 --------(1) or x=A(x2+4)+(Bx+C)(x-1)  -------(2) putting x=1 in equation (2), we get 1=5A or A=15 putting x=0 in equation (2), we get 0=4A-C or   C=4A=45 putting x=-1 in equation (2), we get -1=5A+2B-2C solving these equations, we get  A=15, B=-15 and C=45 Substituting the values of A,B and C in equation (1) ,we obtain x(x-1)(x2+4)=15(x-1)+-15x+45x2+4                         =15(x-1)-15(x-4)(x2+4)       I =15∫1(x-1)dx-15∫x-4x2+4 dx =15∫1(x-1)dx-110∫2xx2+4 dx+45∫1x2+4 dx =15logx-1-110log(x2+4)+45×12tan-1x2+C 15logx-1-110log(x2+4)+25tan-1x2+C