C3/4+C5/6+C7/8+...=

We have C0+C1x+C2x2+........+Cnxn=1+xn Integrating from 0 to x, we get C0x+C1x22+C2x33+........+Cnxn+1n+1=1+xn+1n+1-1n+1=1+xn+1-1n+1     →1 For x=1, equation 1 becomes     C0+C12+C23+C34+C45+.....+Cnn+1=2n+1-1n+1    →2 For x=-1, equation 1 becomes   -C0+C12-C23+C34-C45+.....+-1n+1Cnn+1=-1n+1  →3 Adding 2 and 3, we get    C1+2C34+C56+....=2n+1-2n+1 ⇒2C34+C56+....=2n+1-n2-n-2n+1 ⇒C34+C56+...  =2n+1-n2-n-22n+1