Evaluate ∫13+sin⁡2xdx

I=∫13+sin⁡2xdx=∫13sin2⁡x+cos2⁡x+2sin⁡xcos⁡xdx=∫sec2⁡x3tan2⁡x+2tan⁡x+3dx[Dividing Nr and Dr by cos2 x]                Putting tan x = t and sec2 x dx = dt, we get I=∫dt3t2+2t+3=13∫dtt2+23t+1=13∫dtt+132+2232I=131223tan−1⁡t+13223+C=122tan−1⁡3t+122+C=122tan−1⁡3tan x+122+C