An even polynomial function f(x) satisfies a relation $\mathrm{f}\left(2\mathrm{x}\right)\left(1-\mathrm{f}\left(\frac{1}{2\mathrm{x}}\right)\right)+\mathrm{f}\left(16{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}\right)=\mathrm{f}\left(-2\right)-\mathrm{f}\left(4\mathrm{xy}\right)\forall \mathrm{x},\mathrm{y}\in \mathrm{R}-\left\{0\right\} \mathrm{and} \mathrm{f}\left(4\right) =-255, \mathrm{f}\left(0\right)=1.$   Then the value of f(2) is________

$\begin{array}{l}\mathrm{We} \mathrm{have} \mathrm{f}\left(2\mathrm{x}\right)- \mathrm{f}\left(2\mathrm{x}\right)\mathrm{f}\left(\frac{1}{2\mathrm{x}}\right)+\mathrm{f}\left(16{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}\right)=\mathrm{f}\left(-2\right)-\mathrm{f}\left(4\mathrm{xy}\right)\\ \mathrm{Replacing} \mathrm{y} \mathrm{by} \frac{1}{8{\mathrm{x}}^2}, \mathrm{we} \mathrm{get}\\ \mathrm{f}\left(2\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(2\mathrm{x}\right)\left(\frac{1}{2\mathrm{x}}\right)+\mathrm{f}\left(2\right)=\mathrm{f}\left(-2\right)-\mathrm{f}\left(\frac{1}{2\mathrm{x}}\right)\\ \therefore \mathrm{f}\left(2\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\frac{1}{2\mathrm{x}}\right)=\mathrm{f}\left(2\mathrm{x}\right)\mathrm{f}\left(\frac{1}{2\mathrm{x}}\right) \left[\mathrm{As} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \mathrm{is} \mathrm{even}\right]\\ \therefore \mathrm{f}\left(2\mathrm{x}\right)=1\pm {\left(2\mathrm{x}\right)}^{\mathrm{n}}\\ \mathrm{or} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=1\pm {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\end{array}$

$\mathrm{Now}, \mathrm{f}\left(4\right)=1\pm 4^{\mathrm{n}}=-255 \left(\mathrm{Given}\right)$

Taking negative sign, we get $256=4^{\mathrm{n}} \mathrm{or} \mathrm{n}=4$

Hence,  $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=1-{\mathrm{x}}^4$,  which is an even function

Therefore, $f\left(2\right)=-15.$