f:R→R defined by f(x)=12x|x|+cos⁡x+1 is

fx = xx2+cosx+1    If x≥0 then fx = x22+cosx +1     f'x = x - sinx ≥0 for all x≥0  if x<0 then fx = -x22 + cosx +1 ⇒f'x=-x -sinx >0 since x is negative therefore f'x >0 for all x ∈R ⇒ f is increasing , hence f is one-one  and fx→∞ when x→∞ and fx→ -∞ when x→-∞  Range is = R ,    hence f is onto