If ax2+(b−c)x+a−b−c=0 has unequal real roots for all c∈R, then

We have, D=(b−c)2−4a(a−b−c)>0 or  b2+c2−2bc−4a2+4ab+4ac>0 or  c2+(4a−2b)c−4a2+4ab+b2>0 for all c∈RDiscriminant of the above expression in c must be negative.Hence,    (4a−2b)2−4−4a2+4ab+b2<0 or     4a2−4ab+b2+4a2−4ab−b2<0 or     a(a−b)<0⇒     a<0 and a−b>0 or a>0 and a−b<0⇒     ba>0