If ω≠1 is cube root of unity and x+y+z≠0 , then |x1+ωyω+ω2zω2+1yω+ω2zω2+1x1+ωzω2+1x1+ωyω+ω2|=0 if

As 1+ω+ω2=0 , the given determinant can be written as|−xω2−y−zω−y−zω−xω2−zω−xω2−y| = -xω-y-zω2-y-zω2-xω-zω2-xω-y = =x3+y3+z3-3xyz =0                ⇒(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx) =   0              OR  x+y+zx+yω+zω2x+yω2+zω=0                               =12(x+y+z){(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2} =0                                    x +yω+zω2=0 or x+yω2+zω=0                    since x+y+z ≠0 ⇒x=y,and y=z and z=xThe determinant vanishes if either x=y=z  or x+yω+zω2=0  Or x+yω2+zω=0