If f.(0,π)→R is given by f(x)=∑k=1n [1+sin⁡kx],[x] denotes the greatest integer function, then the range of f(x) is

f(x)=∑k=1n 1+[sin⁡kx]=n+[sin⁡x]+[sin⁡2x]+⋯+sin nx. If kx≠π2 for any k=1, 2 .........n then 0[sin⁡kx]=0,k=1,2…n. i.e. f(x)=n. If kx=π2for some k then x=π2k, hence sin⁡x,sin⁡2x,…sin⁡(k−1)x will lie between 0 and 1 so sinjx=01≤j≤k−1; sin⁡kx=1 so f(x) can be n+1 or n.