If f:R→R is differentiable function such that f'(x)>2f(x) for all x∈R, and f(0)=1 , then

f'x−2fx>0⇒e-2xf'x-2e-2xfx>0 ⇒fxe−2x'>0   fxe−2x is increasing for all x∈R for x>0⇒fx>f0⇒fxe−2x>f0e0⇒fxe−2x>1⇒fx>e2xand f'x >2fx>2e2x>0 for x∈0,∞ ,hence fx is increasing for x∈0,∞