If a function f:[0, 27]→R is differentiable then for some0<α<β<3,∫027 f(x)dx is equal to

Let g(x)=∫0x3 f(t)dt so g(0)=0g′(x)=3x2fx3∫027 f(t)dt=g(3)=g(3)−g(1)3−1+12g(1)−g(0)1−0=g′(α)+12g′(β)for some α∈(1,3),β∈(0,1)⊆(0,3), but g′(α)=3α2fα3and g′(β)=3β2f(β)3Therefore, ∫027 f(t)dt=3α2fα3+12β2fβ3