If $\mathrm{A}>0,\mathrm{B}>0,\mathrm{A}+\mathrm{B}=\mathrm{\pi }/3$  and maximum value of tan A tan B is M then the value of 1/M is

$\begin{array}{l}\mathrm{A}+\mathrm{B}=\mathrm{\pi }/3\\ \Rightarrow \tan (\mathrm{A}+\mathrm{B})=\sqrt{3}\\ \Rightarrow \frac{\tan \mathrm{A}+\tan \mathrm{B}}{1-\tan \mathrm{Atan}\mathrm{B}}=\sqrt{3}\\ \Rightarrow \frac{\tan \mathrm{A}+\frac{\mathrm{y}}{\tan \mathrm{A}}}{1-\mathrm{y}}=\sqrt{3} (where y=\tan \mathrm{Atan}\mathrm{B})\\ \Rightarrow {\tan }^2\mathrm{A}+\sqrt{3}(\mathrm{y}-1)\tan \mathrm{A}+\mathrm{y}=0\end{array}$

For real values of tan A, 

$\begin{array}{r}3(\mathrm{y}-1{)}^2-4\mathrm{y}\ge 0\\ \Rightarrow 3{\mathrm{y}}^2-10\mathrm{y}+3\ge 0\\ \Rightarrow (\mathrm{y}-3)(3\mathrm{y}-1)\ge 0\\ \Rightarrow \mathrm{y}\le \frac{1}{3}\text{ or }\mathrm{y}\ge 3\end{array}$

$\text{ But }\mathrm{A},\mathrm{B}>0\text{ and }\mathrm{A}+\mathrm{B}=\mathrm{\pi }/3$

$\text{⇒}\mathrm{A},\mathrm{B}<\mathrm{\pi }/3$

$\Rightarrow \tan \mathrm{Atan}\mathrm{B}<3\text{ so, }\mathrm{y}\ge 3\text{ is not a possibility. }$

$\text{ Therefore, }\mathrm{y}\le \frac{1}{3}\text{ i.e., max. value of }\mathrm{y}\text{ is }1/3\text{, }$