If L=limx→0 sin⁡2x+asin⁡xx3 is finite, then  thevabsolute value of a

L=limx→0 sin⁡2x+asin⁡xx3=limx→0 2sin⁡xcos⁡x+asin⁡xx3=limx→0 sin⁡xx(2cos⁡x+a)x2=limx→0 2cos⁡x+ax2 Now, Dr tends to 0 when x→0 . Then Nr also must tend to  zero for which limx→0 (2cos⁡x+a)=0⇒a=−2 . Now, L=limx→0 2cos⁡x−2x2=−2limx→0 2sin2⁡x2x2=−1