$\mathrm{If} \underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim } {\left(1+\mathrm{ax}+{\mathrm{bx}}^2\right)}^{\frac{\mathrm{c}}{\left(\mathrm{x}-1\right)}}={\mathrm{e}}^3,$ then the value of bc is ______

$\begin{array}{l}\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim } {\left(1+\mathrm{ax}+{\mathrm{bx}}^2\right)}^{\frac{\mathrm{c}}{\left(\mathrm{x}-1\right)}}={\mathrm{e}}^3\\ \mathrm{or} {\mathrm{e}}^{ \underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim } {\left(1+\mathrm{ax}+{\mathrm{bx}}^2-1\right)}^{\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{x}-1}}}={\mathrm{e}}^3\\ \mathrm{or} {\mathrm{e}}^{\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim } \frac{\mathrm{c}\left(\mathrm{ax}+{\mathrm{bx}}^2\right)}{\mathrm{x}-1}}={\mathrm{e}}^3\\ \mathrm{or} \underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim } \frac{\mathrm{c}\left(\mathrm{ax}+{\mathrm{bx}}^2\right)}{\mathrm{x}-1}=3\\ \mathrm{or} \underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim } \frac{\mathrm{c}\left(\mathrm{a}\left(1+\mathrm{h}\right)+\mathrm{b}{\left(\mathrm{a}+\mathrm{h}\right)}^2\right)}{1+\mathrm{h}-1}=3\\ \mathrm{or} \underset{\mathrm{h}\to 0}{\lim } \frac{\left(\mathrm{ca}+\mathrm{b}\right)+\left(\mathrm{ac}+2\mathrm{b}\right)\mathrm{h}+{\mathrm{bh}}^2}{\mathrm{h}}=3\\ \mathrm{or} \mathrm{ca}+\mathrm{b}=0 \mathrm{and} \mathrm{ac}+2\mathrm{b}=3\\ \mathrm{or} \mathrm{b}=3 \mathrm{and} \mathrm{ac}=-3\\ \mathrm{Also}, \mathrm{the} \mathrm{form} \mathrm{must} \mathrm{be} 1^{\infty } \mathrm{for} \mathrm{which} \mathrm{a}+\mathrm{b} =0, \mathrm{i}.\mathrm{e}., \mathrm{a}=-3 \mathrm{and} \mathrm{c}=1.\end{array}$