If the lines $\frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}+1}{3}=\frac{\mathrm{z}-1}{4}$ and $\frac{\mathrm{x}-3}{1}=\frac{\mathrm{y}-\mathrm{k}}{2}=\frac{\mathrm{z}}{1}$ intersect, then the value of k is

$\begin{array}{l}\frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}+1}{3}=\frac{\mathrm{z}-1}{4}=\mathrm{\lambda }\\ \Rightarrow \mathrm{x}=2\mathrm{\lambda }+1,\mathrm{y}=3\mathrm{\lambda }-1\text{ and }\mathrm{z}=4\mathrm{\lambda }+1\\ \frac{\mathrm{x}-3}{1}=\frac{\mathrm{y}-\mathrm{k}}{2}=\frac{\mathrm{z}}{1}=\mathrm{\mu }\\ \Rightarrow \mathrm{x}=3+\mathrm{\mu },\mathrm{y}=\mathrm{k}+2\mathrm{\mu }\text{ and }\mathrm{z}=\mathrm{\mu }\end{array}$

Since the above lines intersect, 

$\begin{array}{l}2\mathrm{\lambda }+1=3+\mathrm{\mu }-----\left(\mathrm{i}\right)\\ 3\mathrm{\lambda }-1=2\mathrm{\mu }+\mathrm{k}----\left(\mathrm{ii}\right)\\ \mathrm{\mu }=4\mathrm{\lambda }+1----\left(\mathrm{iii}\right)\end{array}$

Solving (i) and (iii) and putting the value of $\lambda$and  $\mathrm{\mu }$ in (ii), $\mathrm{k}=\frac{9}{2}$