If tan−1⁡A+tan−1⁡B=π4, where 0

We have,tan−1⁡A+tan−1⁡B=π4⇒tan−1⁡A+B1−AB=π4⇒A+B1−AB=tan⁡π4⇒A+B1−AB=1⇒A+B=1−AB⇒AB+A+B=1⇒1+A+B+AB=2⇒(1+A)(1+B)=2∴(A+B)−A2+B22+A3+B33−A4+B44+…=A−12A2+13A3−14A4+…+B−12B2+13B3−14B4+…=lne⁡(1+A)+lne⁡(1+B)=lne⁡(1+A)(1+B)=lne⁡2=ln⁡2