If X,Y and A are three sets such that A∩X=A∩Y and A∪X=A∪Y then

If X⊂Y, let y∈Y and y∉X then either y∉A. or y∈ASo if y∈A, then y∈A∩Y but y∉A∩X and thus A∩X≠A∩Y.If y∉A, then y∈A∩Y but y∉A∪Xand thus A∪X≠A∪YSo X⊆Y, similarly Y⊆X.⇒        X=Y.