If z ∈C  and 1+z+z21−z+z2∈R, then z  satisfied

As 1  +  2z1−z+z2=1+z+z21−z+z2∈R ⇔     z1−z+z2  ∈  R  ⇔  1−z+z2z  ∈  R ⇔     1z+z−1  ∈  R  ⇔  z+1z  ⇔  R ⇔      z+1z=z¯+1z¯ ⇔     z−z¯=(1z−1z¯)=0 ⇔     (z−z¯)  (1−1z¯  z)  =  0 ⇔      zz¯=1    or   |z|  =  1.    [∵   z≠z¯]