If z+1z=2cos⁡θ,z∈C then  z2n−2zncos⁡(nθ) is equal to

z+1z=2cos⁡θ⇒z2−2zcos⁡θ+1=0⇒ z=cos⁡θ ± i sin⁡θNow,  z2n−2zncos⁡(nθ)=znzn−2cos⁡(nθ)=zn[cos⁡(nθ)±isin⁡(nθ)−2cos⁡(nθ)]=−znz¯n=−1