The Integer n for which $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{\left(\mathrm{cosx}-1\right)\left(\mathrm{cosx}-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}$ is a finite nonzero number is _______

$\begin{array}{l}\mathrm{L}=\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{\left(\mathrm{cosx}-1\right)\left(\mathrm{cosx}-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}\\ =-\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim } \frac{\left(1-\mathrm{cosx}\right)\left(1+\mathrm{cosx}\right)\left(\mathrm{cosx}-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)}{\left(1+\mathrm{cosx}\right){\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}\\ = \underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim } \frac{{\left(\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}}\right)}^2\left(\frac{1-\mathrm{cosx}}{\mathrm{x}}+\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-1}{\mathrm{x}}\right)}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-3}}\frac{1}{1+\mathrm{cosx}}\\ \mathrm{If} \mathrm{L} \mathrm{is} \mathrm{finite} \mathrm{nonzero}, \mathrm{then} \mathrm{n}=3 \left(\mathrm{as} \mathrm{for} \mathrm{n}=1,2,\mathrm{L}=0, \mathrm{and} \mathrm{for} \mathrm{n}=4, \mathrm{L}=\infty \right)\end{array}$