Let a, b and c be real numbers such that a+2b+c = 4. Find the maximum value of (ab +bc + ca).

Given,

$\begin{array}{rl}\mathrm{a}+2\mathrm{b}& +\mathrm{c}=4\\ \Rightarrow \mathrm{a}& =4-2\mathrm{b}-\mathrm{c}\\ \mathrm{let} \mathrm{y}& =\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}=\mathrm{a}(\mathrm{b}+\mathrm{c})+\mathrm{bc}\\ & =(4-2\mathrm{b}-\mathrm{c})(\mathrm{b}+\mathrm{c})+\mathrm{bc}\\ & =-2{\mathrm{b}}^2+4\mathrm{b}-2\mathrm{bc}+4\mathrm{c}-{\mathrm{c}}^2\\ 2{\mathrm{b}}^2+2(\mathrm{c}& -2)\mathrm{b}-4\mathrm{c}+{\mathrm{c}}^2+\mathrm{y}=0\end{array}$

Since $\mathrm{b}\in \mathrm{R}$,so

$4(\mathrm{c}-2{)}^2-4\times 2\times (-4\mathrm{c}+{\mathrm{c}}^2+\mathrm{y})\ge 0$

$\begin{array}{lr}\Rightarrow & (\mathrm{c}-2{)}^2+8\mathrm{c}-2{\mathrm{c}}^2-2\mathrm{y}\ge 0\\ \Rightarrow & {\mathrm{c}}^2-4\mathrm{c}+2\mathrm{y}-4\le 0\end{array}$

Since $\mathrm{c}\in \mathrm{R}$ so,$16-4(2\mathrm{y}-4)\ge 0\Rightarrow \mathrm{y}\le 4$

Hence, maximum value of ab + bc + ca is 4.