Let a + b + c = s and $\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{s}+\mathrm{c}& \mathrm{a}& \mathrm{b}\\ \mathrm{c}& \mathrm{s}+\mathrm{a}& \mathrm{b}\\ \mathrm{c}& \mathrm{a}& \mathrm{s}+\mathrm{b}\end{array}\right|=532$, then the value of s is __________ .

Given that

$\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{s}+\mathrm{c}& \mathrm{a}& \mathrm{b}\\ \mathrm{c}& \mathrm{s}+\mathrm{a}& \mathrm{b}\\ \mathrm{c}& \mathrm{a}& \mathrm{s}+\mathrm{b}\end{array}\right|=532$

Applying ${\mathrm{C}}_1\to {\mathrm{C}}_1+{\mathrm{C}}_2+{\mathrm{C}}_3$, we get

$(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{s})\left|\begin{array}{ccc}1& \mathrm{a}& \mathrm{b}\\ 1& \mathrm{s}+\mathrm{a}& \mathrm{b}\\ 1& \mathrm{a}& \mathrm{s}+\mathrm{b}\end{array}\right|=532$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 2\mathrm{s}\left|\begin{array}{ccc}0& -\mathrm{s}& 0\\ 0& \mathrm{s}& -\mathrm{s}\\ 1& \mathrm{a}& \mathrm{s}+\mathrm{b}\end{array}\right|=532\\ \Rightarrow 2{\mathrm{s}}^3=532\end{array}$

$\therefore {\mathrm{s}}^3=216$

s = 6